【攻略】【我的勇者-攻略】 属性堆栈与效益分析(上)

一、前言

继上篇灵目推坑文，已经入坑灵目的小伙伴们，可能有些疑虑，如下：

     …..

因此，我将此篇分成上下两篇来讨论，上篇主要是一些理论和公式推导、解答部分上述问题，而下篇是利用简化后的公式去做实际计算、解答剩下的问题等等。

<注意> 此篇文长，在文章结尾处有附上懒人包~~~~~

已知：(部分伤害公式) 属攻系数 = 1 + x/700 ； 爆击伤害系数 = 1.5 + y/100。

假设：初始机体之属攻为 0、爆伤为 0 >> 属攻系数 = 1、爆伤系数 = 1.5。

>>  若此时各系数翻倍，则属功系数 = 2、爆伤系数为 = 3.0。我们反推伤害公式可知：属攻 = 700 && 爆击伤害 = 150，再取比值可得 700/150 = 4.6666….。

  明显地，依目前环境和 4.66 的准则来看：属攻 4900 && 爆伤 1050 根本无法达成… 所以我们需要引进更多的参考变量( Ex : 宠物、各类的辅助 buff)，才做出较适切的比值出来，不过属攻 2100 && 爆伤 450 常作为毕业指针就是了。

三、属性稀释现象

  为了解释属性稀释现象，我们同样需要引用 (部分的) 伤害公式，并且以常见的攻击强度和属性攻击作举例。  首先，假设角色攻击强度 && 属攻为 0，且排除其他属性增益的可能性。

  当攻击强度从 0 → 700 时，此时攻强系数为 1 (1 + 0/700) → 2 (1 + 700/700) ，相当于角色的基础伤害从 100% 提升至 200% >> 700点攻击强度贡献了 (200 – 100) / 100 * 100% = 100% 的增幅 >> 平均每 1 点攻击强度贡献了 100% / 700 ≈ 0.142% 的伤害收益。

  根据上述讨论，我们一样可以计算出角色攻强 700 → 1400 时，基础伤害将从 200% 提升至 300% >> 700点攻强贡献了 (300 – 200) / 200 *100% = 50% 的增幅 >> 平均每 1 点攻击强度贡献了 50% / 700 ≈ 0.071% 的伤害收益。

❖ 此处，或许我们有个疑问：

关于基础伤害(200% → 300%)时，

Q1：基础伤害的增幅为什么不是(300-200)% = 100%？

⇒ 理由：当我们计算伤害公式时，是以各项增伤做相乘后，得出最终伤害数值。所以，我们在比较不同攻击强度时，无法直接以相减的方式得出基础伤害的增幅。

Q2：为何不是提供了 (300/200) * 100% = 150% 的增幅，而是 50% 的增幅呢？

⇒ 理由：伤害的增幅与伤害的放大系数是不同的概念，因此 (300/200) * 100% = 150% 意味着基础伤害从原先的200% 提升1.5倍至 300%，放大系数为1.5，并且放大系数为 1 时为原先的基础伤害，从而得出伤害的真实增幅为 (1.5 – 1) * 100% = 50%。

——分隔线——-

  同理可得，1400~2100, 2100~2800, 2800~3500…各个区间里，每 1 点攻击强度所贡献的 x% 伤害收益：

  ∆ 图片(2) 、 图片(3)

  

然而，我们可以将攻强 – 伤害收益的关系进行函数化，再借由 Matlab 将函数图形化：

  由上图可以观察到攻击强度的收益函数 f(x) 呈现绝对递减，为了更明显看见递减趋势，我们将原闭区间 [700,6300] 扩大至 [0,15000]， 来查看整体函数的图形走向：

  ∆ 图片(5)

( 感谢 7yli7 的美编 ~~~)

  显然，该函数曲线呈下滑态，若将曲在线每一点的切线画出来，同样可以发现该切线随着攻强的增加，逐渐向 X 轴靠拢 >> 也就是说攻击强度越高，平均获得的收益就越少。

<推导>  假设初始攻强为 x > 0 && 后来攻强为 y > 0，不失一般性：我们让 y > x

>> 初始攻强系数：1 + x/700 、后来攻强系数：1 + y/700

>> 基础伤害增幅：(1 + y/700 – 1 + x/700) / (1 + x/700) *100% = (y – x) / (7 * (1 + x / 700) %

>> 每 1 点攻强的平均收益：f(x) = (y – x) / (7 * (1 + x / 700) % / (y – x) = 1 / (7+ x / 100) %

<验证> 假设 f(x) = 1 / (7 + x / 100) 定义在闭区间 [ 0,15000 ] 上，因函数 f(x) 一次可导，且对所有的 x 都大于零，所以一次导函数 f'(x) = – 100 / (x + 700)^2  小于零。根据函数的递增递减定义，函数 f(x) 在闭区间 [0,15000] 中，属于绝对递减函数。

——-分隔线—–

  接着，也可比较每个区间里，平均每 1 点攻强所占的伤害收益比，可知：提升10%的伤害收益，若角色攻强越高，所需提升的攻击强度就越多！

<角色攻强>

2800~3500：10%伤害收益 ≈ 345点攻击强度

3500~4200：10%伤害收益 ≈ 417点攻击强度

4200~4900：10%伤害收益 ≈ 500点攻击强度

4900~5600：10%伤害收益 ≈ 556点攻击强度

5600~6300：10%伤害收益 ≈ 625点攻击强度

…

  这边下个小结论：随着攻击强度的提升，每点攻强所贡献的伤害收益比逐步减少，也就是所谓的属性稀释，以经济学角度来看，称为边际效用递减。

P.S. 为了方便观察属性稀释现象，此处采用平均的概念去计算出每一点属性所赋予的增伤；不过套用在实际面，我们不常以临界属性(700倍数)作为基底下去计算，而是采用相对的计算方式找出最佳组合 >> 相对收益法。

四、平均收益 & 相对收益

  以平均收益来看，我们是以临界属性(700、1400、2100、2800、…) 作为初始值进行收益计算。不过，在实际情况下的机体，其皮肤属性之数值并不会刚刚好落在临界点上 >> 若采用平均收益计算方式，将产生巨大且未知的误差，进而影响最终计算结果。

( >> 平均收益法的好处在于：1. 计算方便    2.  容易观察属性稀释现象 )

  因此，我们无可避免地，必须舍弃临界属性，并且以实际的机体数值作基底，计算出真实效益，才能在有限的资源中，做出最佳的选择。  而相对收益的计算方式是在平均收益的计算方式上，进行修改 ( 伤害 – 收益函数：f( y , x) = (y – x) / (7 * (1 + x / 700) % )，经公式比对，可以发现两者其实只差在有没有除以 (后属性 y – 原属性 x)，不过存在双变量的情况下，进行计算时，相较于前者来的复杂些，在此不多做讨论了。 ( >> 相对收益法的好处：详情在下篇。)

值得注意的是：在计算每 1 点属性收益上，平均收益法会是相对收益法的特例。

至于四星效果的比较，将留在下篇做讨论…

五、相对收益公式简化

  为了让下一篇的实际计算方便些，此节将(部分的)伤害公式进行一波化简，也提供大家使用~~~

假设初始数值 X > 0 且后来数值 Y > 0：

1. 攻击强度 & 属性攻击

<Case 1>：Y > X (数值增加)

a%增幅 = [ (1 + Y/700) / (1 + X/700) – 1 ] x 100%

= [ (700 + Y) / (700 + X) – 1 ] x 100%

= [ (700 + Y) – (700 + X) ] / (700 + X) x 100%

= [ (Y – X) / (700 + X) ] x 100%

<Case 2>：X < Y (数值减少)

b%减幅 = [ 1 – (1 + Y/700) / (1 + X/700) ] x 100%

= [ 1 – (700 + Y) / (700 + X) ] x 100%

= [ (700 + X) – (700 + Y) ] / (700 + X) x 100%

= [ (X – Y) / (700 + X) ] x 100%

——-分隔线——-

2. 爆击伤害

<Case 1>：Y > X (数值增加)

c%增幅 = [ (1.5 + Y/100) / (1.5 + X/100) – 1 ] x 100%

= [ (150 + Y) / (150 + X) – 1] x 100%

= [ (150 + Y) – (150 + X) ] / (150 + X) x 100%

= [ (Y – X) / (150 + X) ] x 100%

<Case 2>：X < Y (数值减少)

d%减幅 = [ 1 – (1.5 + Y/100) / (1.5 + X/100) ] x 100%

= [ 1 – (150 + Y) / (150 + X) ] x 100%

= [ (150 + X) – (150 + Y) ] / (150 + X) x 100%

= [ (X – Y) / (150 + X) ] x 100%

——-分隔线——-

3. Boss伤害

<Case 1>：Y > X (数值增加)

e%增幅 = [ ( 1 + Y) / (1 + X) – 1 ] x 100%

= [ (1 + Y) – (1 + X) ] / (1 + X) x 100%

= [ (Y – X) / ( 1 + X) ] x 100%

<Case 2>：Y < X (数值减少)

d%减幅 = [ 1 – ( 1 + Y) / (1 + X) ] x 100%

= [ (1 + X) – (1 + Y) ] / (1 + X) x 100%

= [ (X – Y) / ( 1 + X) ] x 100%

——-分隔线——-

4.护甲穿透 && 元素穿透

假设怪物护甲定值(元素抗性)为

(1) 世界王：5000 ( 2500 )

(2) 150层公会王：6640 (3100)

怪物免伤百分比：(护甲 – 护甲穿透) / (护甲 – 护甲穿透 + 1500)

⇒ 实际输出百分比：1 – 怪物免伤率 = 1500 / ( 护甲 – 护甲穿透 + 1500 )。

六、回顾 (懒人包)

    一开始我们引用伤害公式解释了 4.66 的来历 ( 以系数翻倍的猜想，反推了属攻 && 爆伤的系数公式，得出各数值后，再相除得出比例 4.66 ) 并且透过 4.66 的想法来推导出目前顶配机体的标准 ( 水攻 2100 、爆伤 450 )，也稍微写了关于比例 4.66 的问题。  接着再次引用伤害公式、以常见的攻击强度举例，套用平均计算方式，将数据整理成表格，又画了几张图，解释属性稀释现象，并且以数学方法进行验证。

  最后针对平均收益和比较收益的计算方式，做了一些讨论，指出各个计算法的优劣之处，给了一个简单的实际例子 ( 2星猫咪 v.s. 2星偶像 )。然后，为了减少下一篇的计算过程，在文末对平均收益计算公式进行一番化简。

<旧火站柱．特别纪念>